1894年的春天，以一种近乎慈悲的温柔姿态降临哥廷根。连续几个晴朗的暖日，融化了残雪，莱纳河的水流变得丰沛而欢快，岸边的草地冒出新绿。空气中弥漫着湿润的泥土气息和万物复苏的生机。对于蛰伏在北街阁楼里长达两年之久的艾莎·黎曼而言，这外界的暖意，似乎也终于微弱地透过了她生命的严寒，带来了一丝喘息性的转机。
那场几乎夺走她性命的大咯血和随之而来的漫长衰竭期，仿佛一场摧毁一切的暴风雪。然而，在经历了最深沉的“沉睡”之后，她的身体，这具被肺结核反复侵蚀、早已千疮百孔的“琉璃之躯”，竟展现出一种不可思议的韧性，如同石缝间挣扎求生的野草，在濒临彻底枯萎的边缘，勉强稳住了一丝根脉。高烧退去了，转为持续的低热；剧烈的咳血频率降低，变为痰中带血丝的常态；最令人欣慰的是，那几乎要将她意识吞噬的、日夜不停的谵妄和眩晕感，终于渐渐平息，让她重新获得了某种程度的、脆弱的清醒。
她依然极度虚弱。下床行走几步都需要搀扶，且会气喘吁吁。她的体重轻得吓人，裹在厚厚的披肩里，仍像一阵风就能吹倒。脸颊凹陷，肤色是一种褪不去的、缺乏血色的苍黄，只有颧骨处偶尔因低热泛起的红晕，提示着病魔的盘踞。但她的眼睛，那双深褐色的、过于巨大的眼眸，重新凝聚起了光芒。那不再是高烧时的狂乱火焰，也不是衰竭期的空洞死寂，而是一种沉淀了巨大痛苦、穿越了死亡阴影后，变得更加沉静、深邃、且透着一丝近乎冷酷的坚定的光芒。
身体刚刚允许她坐起来，倚靠着厚厚的枕头，在床头柜上放置一块木板作为书桌，艾莎便迫不及待地重新拿起了笔。她的手指依然颤抖，字迹因虚弱而显得虚浮，但每一笔都带着一种不容置疑的目的性。阿达马和瓦莱·普桑证明素数定理的消息，如同一根刺，深深扎在她的心里。那不是嫉妒，而是一种强烈的不甘，一种必须要用她自己的方式、在她自己的战场上，做出回应的执念。
他们用复分析的利剑，斩杀了素数定理这头巨兽。那么，她就要用几何的罗网，将它重新捕获，并向世界展示它真正的、内在的骨骼。
她的目标清晰无比：她要给出一个属于她艾莎·黎曼的、纯粹的几何化证明。这个证明，将完全绕开黎曼ζ函数、绕开复杂的零点分布估计、绕开所有繁复的e-δ分析。它将是简洁的、优雅的，直指素数分布背后的拓扑本质。
她沉浸在她于病中“看到”的“影之几何”图景中：那个高维的、由所有素数信息编织而成的“素数流形”p。阿达马他们的证明，相当于在“影子”（ψ(x) 的渐近行为）上进行了精细的测量和计算。而她要做的，是直接研究投下影子的那个“本体”——流形p本身的、固有的、不依赖于任何观测角度的拓扑性质。
她的思维如同最精密的探针，在脑海中的几何宇宙里搜寻着。她需要找到一个合适的拓扑不变量，来描述流形p的“大小”或“复杂度”，并且这个不变量要能自然地与投影体积ψ(x)的渐近增长（~ x）联系起来。
突然，一个来自拓扑学前沿的概念，如同黑暗中划过的流星，照亮了她的思绪——贝蒂数。
贝蒂数，以意大利数学家恩里科·贝蒂的名字命名，是代数拓扑中用于描述流形拓扑结构的一系列整数不变量。粗略地说，第零个贝蒂数 b? 表示流形连通分支的个数；第一个贝蒂数 b? 则与流形上“洞”的数量（更准确说是一维洞，如闭路无法连续缩为一点的情况）密切相关。对于一个环面（甜甜圈），b? = 2（对应两个独立的不可收缩的环）。贝蒂数刻画的是流形的整体连通性，是深刻的内蕴几何信息。
一个大胆的、天才的构想，在艾莎脑中爆发：
对于那个无限复杂的“素数流形”p，能否定义一种“渐近”意义下的贝蒂数？当观测尺度x趋于无穷时，流形p在尺度x以下的“局部”拓扑结构中，那个代表“一维洞”数量的贝蒂数 b?，其渐近行为是什么？
她敏锐地直觉到，素数分布的核心奥秘，可能就隐藏在这个“渐近贝蒂数”里。ψ(x) 度量的是小于x的素数幂的加权和，这可以理解为流形p在尺度x以下所包含的“基本几何单元”的加权数量。而流形的拓扑复杂度（洞的数量），理应与其基本构成单元的数量有着深刻联系。
接下来的几天，艾莎处于一种高度专注的创作状态。她忽略身体的疲惫和不适，全部心神都投入到这个构想的严格化之中。她在稿纸上飞快地演算、勾勒示意图。她需要为“素数流形”p定义一种在越来越大尺度下的“逼近”序列，比如 p_x，表示p在尺度x以下的部分。然后，她需要研究这一系列逼近流形的拓扑性质，特别是它们的第一个贝蒂数 b?(p_x)，当 x → ∞ 时的极限行为。
这是一个极其抽象且困难的问题，但她凭借强大的几何直觉，找到了一条清晰的路径。她通过素数幂的生成关系，巧妙地构建了 p_x 的拓扑结构，将其与整数乘法半群的几何实现联系起来。然后，她运用了关于拓扑复杂度增长率的某种深刻引理（这引理本身可能就需要她现场创造）。
最终，她得到了一个简洁而优美的结论：
lim (x→∞) b?(p_x) \/ x = 1.
换句话说，当尺度x趋于无穷大时，那个代表“素数流形”p在一维洞数量上的渐近贝蒂数 b?，其增长速率是线性的，且系数为1。
这个拓扑命题的证明，可能只依赖于几个精妙的、关于流形如何由基本单元（素数幂）组合而成的几何引理，以及一些同调代数的基本技巧。整个证明过程，可能只有寥寥数页，与阿达马、瓦莱·普桑那些长达数十页、充满了复杂积分估计、函数变换和精细不等式放缩的复分析宏篇巨制，形成了天壤之别。
然而，从这个简洁的拓扑结论出发，推出素数定理 ψ(x) ~ x，几乎是直截了当的！
因为，在艾莎的几何框架下，ψ(x) 正好可以解释为衡量流形p_x “规模”的某种拓扑不变量（如同某种“长度”或“容量”）的加权版本。而第一个贝蒂数 b?(p_x)，作为衡量拓扑复杂度的指标，其线性增长（系数为1）直接强迫流形p_x的“规模”也必须是线性增长（系数为1）。这就如同说，一个物体的“内部空洞数量”如果按线性增长，那么这个物体本身的“体积”也必然至少是线性增长，而在p这种具有高度规则性的流形上，两者是等价的！
因此，拓扑的结论 b?(p_x) ~ x，直接推出了分析的结论 ψ(x) ~ x！
这就完成了证明。一个关于流形拓扑（贝蒂数）的定理，直接蕴含了关于整数分布（素数定理）的结论。
当艾莎写下最后一行推导，放下笔时，一阵剧烈的咳嗽袭来。她用手帕捂住嘴，身体因用力而颤抖。咳嗽平息后，她摊开手帕，看到上面熟悉的血丝，但她眼中闪烁的，却是一种近乎胜利的光芒。
这不是对阿达马和瓦莱·普桑的胜利，这是她的几何世界观的胜利！是贝蒂数的胜利！
她的证明，与主流证明的差异是根本性的：
方法论上：阿达马等人是分析的，通过研究函数的局部性质（零点位置）来推导全局渐近。艾莎是几何\/拓扑的，通过研究流形的整体拓扑不变量（贝蒂数）来直接洞察全局渐近。一个是由微见着，一个是由着统微。
工具上：前者依赖复变函数论、围道积分、渐进分析。后者依赖（她正试图构建的）流形序列的渐近拓扑、同调理论。
哲学上：前者将素数分布视为解析函数性质的体现。后者将素数分布视为几何空间内在拓扑的必然结果。
简洁性与美感：前者的美在于技术上的精湛与复杂，如同精密的钟表结构。后者的美在于概念上的深刻与统一，直指问题的结构核心，如同一个简洁而强大的物理定律。
艾莎靠在枕头上，疲惫如潮水般涌来，但内心却充满了巨大的平静和满足。她终于用她自己的“语言”，在她自己开辟的疆域里，完成了对素数定理的“理解”和“证明”。这个证明，在当前的时代看来，可能过于超前，其基础（如“素数流形”p的严格定义、“渐近贝蒂数”的概念）尚需完善，甚至会被克莱因等人批评为“缺乏严格性”。但她坚信，这条几何化的道路，指向了更深的真理。素数定理，在它看来，本质是一个拓扑定理。
她证明了，至少在她内心的数学世界里，素数分布的规则性，源于那个隐藏的算术宇宙在宏观尺度下，其拓扑复杂度（“洞”的数量）呈现出极致的简单性——线性增长。这是一种何等简洁而深刻的和谐！
这次“贝蒂数的胜利”，不仅是对外界质疑的回应，更是对她自身数学道路最坚定的确认。她将这篇证明的草稿小心收好，知道它或许暂时无法被理解，但它的存在本身，就是一面旗帜，昭示着一条通往数学深处的新路径的可能性。窗外的春日阳光，似乎也因这份内心的笃定，而变得真正温暖了起来。